Dasar Tampilan Elektronik dan Tabung Sinar Katoda (CRT)

Sejarah, struktur, emisi elektron, defleksi sinar, dan pembentukan citra pada CRT sebagai fondasi teknologi tampilan.

1.1 Pengantar Tampilan Elektronik

Sejarah tampilan elektronik dimulai pada akhir abad ke-19 ketika ilmuwan mulai mengeksplorasi fenomena emisi elektron dan fosforesensi. Penemuan sinar katoda oleh Johann Wilhelm Hittorf pada tahun 1869 dan kemudian dikembangkan lebih lanjut oleh Karl Ferdinand Braun pada tahun 1897 menjadi cikal bakal tabung sinar katoda (Cathode Ray Tube, CRT). Braun berhasil menciptakan tabung vakum pertama yang mampu menampilkan jejak elektron pada layar berfosfor, yang kemudian dikenal sebagai osiloskop. Penemuan ini menjadi landasan fundamental bagi seluruh teknologi tampilan elektronik modern.

Pada paruh pertama abad ke-20, CRT menjadi satu-satunya teknologi tampilan elektronik yang praktis dan digunakan secara luas. Televisi pertama komersial yang menggunakan CRT diperkenalkan pada tahun 1930-an, dan selama beberapa dekade setelahnya, CRT mendominasi industri tampilan mulai dari televisi, monitor komputer, osiloskop, hingga radar militer. Keunggulan utama CRT terletak pada kemampuannya menghasilkan gambar berkualitas tinggi dengan kontras yang sangat baik, sudut pandang yang luas, serta waktu respon yang sangat cepat. Namun, CRT memiliki kelemahan fundamental berupa ukuran fisik yang besar dan berat karena memerlukan tabung vakum yang panjang, serta konsumsi daya yang relatif tinggi.

Evolusi menuju teknologi tampilan panel datar (flat panel display) dimulai pada tahun 1960-an dengan penemuan panel LCD (Liquid Crystal Display) pertama oleh RCA. Namun, baru pada tahun 1970-an dan 1980-an LCD mulai digunakan secara komersial untuk aplikasi seperti kalkulator dan jam digital. Perkembangan pesat terjadi pada era 1990-an dengan diperkenalkannya layar TFT-LCD aktif yang mampu menampilkan gambar berwarna dengan kualitas yang dapat menyaingi CRT. Sejak awal tahun 2000-an, panel datar seperti LCD, plasma, OLED, dan teknologi lainnya secara bertahap menggantikan CRT sebagai teknologi tampilan dominan.

Meskipun CRT telah jarang digunakan dalam perangkat konsumen modern, pemahaman mendalam tentang prinsip-prinsip kerja CRT tetap sangat penting. Banyak konsep fundamental dalam teknologi tampilan — seperti emisi elektron, defleksi sinar, konversi energi elektron menjadi cahaya, dan pemrosesan sinyal gambar — pertama kali dikembangkan dan dipahami melalui studi CRT. Oleh karena itu, bab ini akan membahas secara komprehensif prinsip fisika di balik CRT sebagai fondasi untuk memahami teknologi tampilan panel datar yang lebih modern.

Diagram struktur Tabung Sinar Katoda (CRT) beserta komponen-komponen utamanya

Gambar 1.1: Diagram struktur CRT beserta komponen utamanya.

1.2 Struktur CRT

Tabung sinar katoda (CRT) adalah perangkat tampilan elektronik yang bekerja berdasarkan prinsip penembakan sinar elektron ke permukaan layar berfosfor di dalam tabung vakum. Struktur CRT terdiri dari beberapa komponen utama yang bekerja secara terintegrasi untuk menghasilkan gambar pada layar.

1.2.1 Katoda dan Pemanas

Katoda merupakan sumber elektron dalam CRT. Katoda terbuat dari logam yang dilapisi material oksida logam alkali tanah (biasanya barium oksida, BaO, atau stronsium oksida, SrO) yang memiliki fungsi kerja (work function) rendah, sehingga elektron dapat lebih mudah dilepaskan dari permukaannya. Katoda dipanaskan oleh elemen pemanas (heater) berupa kawat tungsten yang dialiri arus listrik hingga mencapai suhu sekitar 800–1000 °C. Pada suhu tinggi ini, elektron-elektron di dalam katoda memperoleh energi termal yang cukup untuk melampaui fungsi kerja dan terlepas dari permukaan katoda melalui proses emisi termionik (thermionic emission).

1.2.2 Grid Kendali (Control Grid)

Grid kendali merupakan elektroda berbentuk silinder berlubang yang ditempatkan sangat dekat dengan katoda. Grid kendali berfungsi mengatur intensitas sinar elektron dengan cara memodulasi jumlah elektron yang diperbolehkan melewatinya. Ketika tegangan negatif diberikan pada grid kendali (bias negatif), medan listrik yang dihasilkan akan menolak elektron-elektron yang keluar dari katoda. Semakin negatif tegangan grid, semakin sedikit elektron yang dapat melewatinya, sehingga intensitas sinar elektron yang mencapai layar semakin rendah dan titik cahaya yang dihasilkan semakin redup.

◆ Definisi — Modulasi Intensitas Sinar Elektron

Pengaturan kecerahan piksel pada CRT dilakukan dengan memvariasikan tegangan grid kendali $V_g$ relatif terhadap katoda. Hubungan antara arus katoda $I_k$ dan tegangan grid-katoda $V_{gk}$ secara aproksimasi mengikuti hukum Child-Langmuir:

$$I_k = K \cdot (V_{gk} - V_{\text{cutoff}})^{3/2}$$

(Persamaan 1.1)

di mana $K$ adalah konstanta yang bergantung pada geometri elektroda, dan $V_{\text{cutoff}}$ adalah tegangan grid-katoda ketika arus katoda menjadi nol.

→ Lihat Penurunan Rumus & Asumsi Lengkap (Apendiks di Bawah)

1.2.3 Sistem Anoda dan Fokus

Setelah melewati grid kendali, elektron-elektron memasuki sistem anoda yang terdiri dari beberapa elektroda bertegangan tinggi positif. Anoda pertama (focusing anode) berfungsi untuk memfokuskan sinar elektron menjadi berkas yang sempit dan tajam. Anoda kedua (accelerating anode) memberikan percepatan tambahan pada elektron sehingga memperoleh energi kinetik yang tinggi. Proses fokus dapat bersifat elektrostatik (menggunakan medan listrik dari elektroda berbentuk khusus) atau magnetik (menggunakan kumparan fokus di luar tabung). Fokus yang baik menghasilkan titik cahaya (spot) yang kecil dan tajam pada layar, yang penting untuk resolusi gambar yang tinggi.

1.2.4 Sistem Defleksi

Sistem defleksi bertanggung jawab untuk mengarahkan sinar elektron ke posisi yang diinginkan pada layar. Terdapat dua jenis sistem defleksi yang umum digunakan: defleksi elektrostatik (menggunakan plat sejajar) dan defleksi magnetik (menggunakan kumparan defleksi atau deflection yoke). Pada CRT televisi dan monitor, defleksi magnetik lebih umum digunakan karena mampu memberikan sudut defleksi yang lebih besar. Sistem defleksi menggerakkan sinar elektron secara horizontal dan vertikal untuk memindai (scan) seluruh permukaan layar secara sistematis.

1.2.5 Layar Fosfor dan Selubung Vakum

Layar fosfor merupakan bagian depan CRT yang ditumbuhi lapisan material fosfor. Ketika sinar elektron menumbuk fosfor, energi kinetik elektron diubah menjadi energi cahaya yang terlihat. Untuk tampilan berwarna, layar fosfor terdiri dari tiga jenis fosfor yang memancarkan cahaya merah, hijau, dan biru (RGB), yang diatur dalam pola tertentu dan diaktifkan oleh tiga sinar elektron terpisah. Seluruh komponen CRT dikemas dalam selubung kaca yang kedap udara (vakum) untuk mencegah elektron-elektron bertabrakan dengan molekul gas yang akan merusak berkas elektron. Selubung kaca ini juga berfungsi sebagai struktur mekanis yang menahan tekanan atmosfer dari luar.

1.3 Emisi Elektron dan Percepatan

1.3.1 Emisi Termionik

Emisi termionik (thermionic emission) adalah fenomena pelepasan elektron dari permukaan logam yang dipanaskan. Ketika suatu logam dipanaskan hingga suhu yang cukup tinggi, elektron-elektron di dalam logam memperoleh energi termal yang cukup untuk mengatasi energi potensial permukaan (potential barrier) dan terlepas ke ruang hampa. Laju emisi elektron bergantung pada suhu katoda dan fungsi kerja material katoda.

◆ Teorema — Persamaan Richardson-Dushman

Laju arus emisi termionik per unit luas permukaan (current density) dinyatakan oleh persamaan Richardson-Dushman:

$$J = A_G T^2 \exp\!\left(-\frac{\phi}{k_B T}\right)$$

(Persamaan 1.2)

di mana $J$ adalah rapat arus emisi (A/m²), $A_G \approx 1{,}2 \times 10^6$ A/(m²·K²) adalah konstanta Richardson-Dushman, $T$ adalah suhu absolut katoda (K), $\phi$ adalah fungsi kerja material (eV), dan $k_B = 8{,}617 \times 10^{-5}$ eV/K adalah konstanta Boltzmann.

→ Lihat Penurunan Rumus & Asumsi Lengkap (Apendiks di Bawah)

Persamaan Richardson-Dushman menunjukkan bahwa rapat arus emisi sangat bergantung secara eksponensial pada rasio fungsi kerja terhadap suhu. Material dengan fungsi kerja yang lebih rendah akan menghasilkan emisi elektron yang lebih besar pada suhu yang sama. Inilah sebabnya katoda CRT dilapisi oksida barium atau stronsium yang memiliki fungsi kerja sekitar 1–2 eV, jauh lebih rendah dibandingkan logam murni seperti tungsten yang memiliki fungsi kerja sekitar 4.5 eV. Dengan kata lain, penurunan fungsi kerja dari 4.5 eV ke 2 eV pada suhu 1000 K akan meningkatkan arus emisi secara dramatis.

1.3.2 Percepatan Elektron oleh Medan Listrik

Setelah teremisi dari katoda, elektron-elektron dipercepat oleh medan listrik yang dihasilkan oleh tegangan tinggi antara katoda dan anoda. Energi potensial listrik yang dimiliki elektron pada tegangan $V$ adalah $eV$, di mana $e = 1{,}602 \times 10^{-19}$ C adalah muatan elektron. Energi potensial ini seluruhnya dikonversi menjadi energi kinetik elektron saat elektron mencapai anoda (dengan mengabaikan relativistik). Dengan menerapkan kekekalan energi, kita peroleh:

$$\frac{1}{2}m_e v^2 = eV$$

(Persamaan 1.3)

di mana $m_e = 9{,}109 \times 10^{-31}$ kg adalah massa elektron dan $v$ adalah kecepatan akhir elektron. Dari persamaan di atas, kecepatan elektron dapat diturunkan sebagai berikut:

$$v = \sqrt{\frac{2eV}{m_e}}$$

(Persamaan 1.4)

Persamaan (1.4) menunjukkan bahwa kecepatan elektron sebanding dengan akar kuadrat dari tegangan percepatan. Pada tegangan percepatan yang tinggi (biasanya 10–30 kV pada CRT), kecepatan elektron mendekati kecepatan cahaya, sehingga efek relativistik perlu dipertimbangkan. Sebagai ilustrasi, pada tegangan 25 kV, kecepatan elektron mencapai sekitar 0.30c atau 30% kecepatan cahaya, yang masih dapat diaproksimasi secara klasik namun sudah menunjukkan pengaruh relativistik yang tidak dapat diabaikan sepenuhnya.

◆ Contoh Soal — Kecepatan Elektron setelah Percepatan

Soal: Sebuah CRT monitor warna memiliki tegangan anoda $V = 25$ kV. Berapakah kecepatan elektron saat mencapai layar fosfor? Gunakan massa elektron $m_e = 9{,}109 \times 10^{-31}$ kg dan muatan elektron $e = 1{,}602 \times 10^{-19}$ C.

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah menggunakan prinsip kekekalan energi, di mana seluruh energi potensial listrik dikonversi menjadi energi kinetik:

$$\frac{1}{2}m_e v^2 = eV$$

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ($V = 25\,000$ V, $e = 1{,}602 \times 10^{-19}$ C, $m_e = 9{,}109 \times 10^{-31}$ kg):

$$v = \sqrt{\frac{2 \times 1{,}602 \times 10^{-19} \times 25\,000}{9{,}109 \times 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{8{,}01 \times 10^{-15}}{9{,}109 \times 10^{-31}}} = \sqrt{8{,}793 \times 10^{15}}$$ $$v \approx 9{,}38 \times 10^7 \text{ m/s}$$

(Persamaan 1.6)

Kecepatan ini setara dengan sekitar $0{,}313c$, di mana $c = 3 \times 10^8$ m/s adalah kecepatan cahaya. Artinya, elektron bergerak pada kecepatan sekitar 31.3% kecepatan cahaya. Pada kecepatan ini, koreksi relativistik masih cukup kecil namun mulai signifikan untuk perhitungan yang presisi.

1.4 Defleksi Sinar Elektron

Sistem defleksi merupakan komponen kritis dalam CRT yang memungkinkan sinar elektron diarahkan ke posisi manapun pada layar. Terdapat dua metode utama defleksi: defleksi elektrostatik dan defleksi magnetik.

Gambar 1.2: Ilustrasi defleksi sinar elektron: defleksi elektrostatik (atas) dan defleksi magnetik (bawah) beserta variabel fisikanya.

1.4.1 Defleksi Elektrostatik

Pada defleksi elektrostatik, sinar elektron melewati celah antara dua plat logam sejajar yang dialiri tegangan $V_d$. Medan listrik seragam $E$ yang dihasilkan antara kedua plat memberikan gaya pada elektron yang bergerak di dalam celah tersebut.

Gaya yang bekerja pada elektron di dalam medan listrik seragam dinyatakan sebagai:

$$F = eE = e\frac{V_d}{d}$$

(Persamaan 1.7)

di mana $d$ adalah jarak antara kedua plat dan $V_d$ adalah tegangan defleksi. Karena gaya ini tegak lurus terhadap arah gerak awal elektron, elektron mengikuti lintasan parabolik di dalam daerah plat, serupa dengan gerak peluru (projectile motion) dalam mekanika klasik.

Percepatan elektron dalam arah vertikal (sumbu $y$) adalah:

$$a_y = \frac{F}{m_e} = \frac{eV_d}{m_e d}$$

(Persamaan 1.8)

Waktu yang dibutuhkan elektron untuk melewati daerah plat dengan panjang $l$ adalah:

$$t_1 = \frac{l}{v_x}$$

(Persamaan 1.9)

Pada akhir plat, perpindahan vertikal elektron dan komponen kecepatan vertikalnya adalah:

$$y_1 = \frac{1}{2}a_y t_1^2 = \frac{eV_d l^2}{2m_ed v_x^2}$$

(Persamaan 1.10)

$$v_y = a_y t_1 = \frac{eV_d l}{m_e d v_x}$$

(Persamaan 1.11)

Setelah keluar dari daerah plat, elektron bergerak lurus dengan sudut defleksi $\theta$ terhadap sumbu horizontal. Sudut defleksi ini dinyatakan sebagai:

$$\tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{eV_d l}{m_e d v_x^2}$$

(Persamaan 1.12)

Dengan mensubstitusikan $v_x^2 = 2eV_a/m_e$ (dari persamaan energi kinetik), diperoleh:

$$\tan\theta = \frac{V_d l}{2V_a d}$$

(Persamaan 1.13)

Total perpindahan pada layar yang berada pada jarak $D$ dari ujung plat defleksi merupakan jumlah perpindahan di dalam plat dan perpindahan setelah plat:

$$Y = y_1 + D\tan\theta = \frac{V_d l}{2V_a d}\left(\frac{l}{2} + D\right)$$

(Persamaan 1.14)

Persamaan ini menunjukkan bahwa perpindahan pada layar sebanding dengan tegangan defleksi $V_d$ dan sebanding terbalik dengan tegangan anoda $V_a$. Hal ini penting dalam desain CRT karena menunjukkan adanya kompromi antara kecerahan (yang memerlukan $V_a$ tinggi) dan sensitivitas defleksi (yang memerlukan $V_a$ rendah).

◆ Contoh Soal — Defleksi Elektrostatik

Soal: Sebuah CRT osiloskop memiliki panjang plat defleksi $l = 2$ cm, jarak antar plat $d = 0{,}5$ cm, dan jarak dari ujung plat ke layar $D = 20$ cm. Tegangan anoda $V_a = 2000$ V dan tegangan defleksi $V_d = 100$ V. Berapakah perpindahan pada layar?

Penyelesaian:

$$Y = \frac{V_d l}{2V_a d}\left(\frac{l}{2} + D\right)$$ $$Y = \frac{100 \times 0{,}02}{2 \times 2000 \times 0{,}005}\left(\frac{0{,}02}{2} + 0{,}20\right)$$ $$Y = \frac{2}{20}(0{,}01 + 0{,}20) = 0{,}1 \times 0{,}21 = 0{,}021 \text{ m} = 2{,}1 \text{ cm}$$

(Persamaan 1.16)

Jadi, titik cahaya pada layar akan bergeser sebesar 2.1 cm dari posisi tengah. Perpindahan ini menunjukkan bahwa osiloskop ini memiliki sensitivitas defleksi yang cukup baik untuk menampilkan sinyal listrik.

1.4.2 Defleksi Magnetik

Pada defleksi magnetik, sinar elektron melewati medan magnetik seragam $\vec{B}$ yang tegak lurus terhadap arah gerak elektron. Gaya yang bekerja pada elektron yang bergerak dalam medan magnetik diberikan oleh gaya Lorentz:

$$\vec{F} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$$

(Persamaan 1.17)

Karena gaya Lorentz selalu tegak lurus terhadap kecepatan, gaya ini tidak melakukan usaha dan tidak mengubah besarnya kecepatan elektron, tetapi hanya mengubah arahnya. Akibatnya, elektron bergerak melingkar dengan jari-jari yang ditentukan oleh kesetimbangan antara gaya Lorentz dan gaya sentripetal:

$$evB = \frac{m_e v^2}{R}$$

(Persamaan 1.18)

Dari sini diperoleh jari-jari kelengkungan lintasan elektron:

$$R = \frac{m_e v}{eB}$$

(Persamaan 1.19)

Jika panjang daerah medan magnetik adalah $l$, maka sudut defleksi elektron setelah melewati daerah tersebut adalah:

$$\theta = \arcsin\!\left(\frac{l}{R}\right) = \arcsin\!\left(\frac{eBl}{m_e v}\right)$$

(Persamaan 1.20)

◆ Contoh Soal — Defleksi Magnetik dan Jari-jari Lengkungan

Soal: Sebuah CRT televisi menggunakan defleksi magnetik dengan medan magnetik $B = 0{,}5$ mT. Tegangan anoda $V_a = 15$ kV. Berapakah jari-jari lengkungan lintasan elektron? Jika panjang daerah medan magnetik $l = 3$ cm, berapakah sudut defleksi yang dihasilkan?

Penyelesaian:

Pertama, hitung kecepatan elektron:

$$v = \sqrt{\frac{2eV_a}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \times 1{,}602 \times 10^{-19} \times 15\,000}{9{,}109 \times 10^{-31}}} = 7{,}27 \times 10^7 \text{ m/s}$$

(Persamaan 1.21)

Kemudian hitung jari-jari lengkungan:

$$R = \frac{m_e v}{eB} = \frac{9{,}109 \times 10^{-31} \times 7{,}27 \times 10^7}{1{,}602 \times 10^{-19} \times 0{,}5 \times 10^{-3}} = \frac{6{,}622 \times 10^{-23}}{8{,}01 \times 10^{-23}} \approx 0{,}827 \text{ m} = 82{,}7 \text{ cm}$$

(Persamaan 1.22)

Sudut defleksi:

$$\theta = \arcsin\!\left(\frac{l}{R}\right) = \arcsin\!\left(\frac{0{,}03}{0{,}827}\right) = \arcsin(0{,}0363) \approx 2{,}08^\circ$$

(Persamaan 1.23)

Jari-jari lengkungan sebesar 82.7 cm menunjukkan bahwa lintasan elektron hanya sedikit melengkung, menghasilkan sudut defleksi sekitar 2.08°. Pada CRT aktual, sudut defleksi total yang dihasilkan oleh kumparan defleksi horizontal dan vertikal yang bekerja bersama-sama dapat mencapai 90° atau lebih.

1.4.2.1 Pembangkitan Medan Magnet dengan Kumparan

Pada bagian sebelumnya, medan magnetik $\vec{B}$ dimasukkan sebagai besaran yang diketahui. Namun, dalam praktiknya medan magnetik pada CRT dihasilkan oleh deflection yoke — satu atau lebih kumparan kawat yang dililitkan di sekeliling leher tabung CRT dan dialiri arus listrik. Pemahaman tentang hubungan antara arus kumparan dan medan magnetik yang dihasilkannya sangat penting untuk merancang sistem defleksi yang tepat.

Konfigurasi kumparan yang paling sederhana dan paling sering dijadikan model dasar adalah solenoida (— kumparan panjang berbentuk silinder dengan lilitan yang terdistribusi seragam). Meskipun kumparan defleksi aktual pada CRT tidak berbentuk solenoida sempurna (melainkan berbentuk saddle coil yang melengkung mengikuti permukaan tabung), prinsip dasar pembangkitan medan magnetik oleh arus dalam kumparan tetap sama.

◆ Definisi — Medan Magnetik Solenoida Panjang

Besarnya medan magnetik di dalam solenoida panjang ideal yang memiliki $N$ lilitan, panjang $l$, dan dialiri arus $I$ dinyatakan oleh:

$$B = \mu_0 \, n \, I = \frac{\mu_0 \, N \, I}{l}$$

(Persamaan 1.24)

di mana:

$B$ = besar medan magnetik di interior solenoida (T)
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ T·m/A = permeabilitas ruang hampa
$n = N/l$ = kerapatan lilitan, yaitu jumlah lilitan per satuan panjang (lilitan/m)
$N$ = jumlah total lilitan kumparan
$I$ = arus yang mengalir through kumparan (A)
$l$ = panjang efektif solenoida (m)

Persamaan ini menunjukkan bahwa medan magnetik di dalam solenoida sebanding lurus dengan produk $NI$ (disebut ampere-turns atau lilitan-ampere) dan sebanding terbalik dengan panjang kumparan. Produk $NI$ merupakan parameter desain utama: semakin besar lilitan-ampere, semakin kuat medan yang dihasilkan.

→ Lihat Penurunan Rumus dari Hukum Ampere (Apendiks di Bawah)

★ Intuisi Fisis

Setiap lilitan kawat yang dialiri arus menghasilkan medan magnetik berbentuk lingkaran di sekeliling kawat sesuai hukum tangan kanan. Pada solenoida, medan-medan magnetik dari seluruh lilitan saling menjumlah di bagian interior kumparan, sehingga medan di dalam menjadi kuat dan relatif seragam. Di luar solenoida, medan-medan dari lilitan yang bersebelahan saling meniadakan, sehingga medan di luar sangat lemah dan dapat diabaikan untuk solenoida yang cukup panjang ( $l \gg r$ ).

Catatan Praktis: Kumparan Defleksi CRT

Kumparan defleksi pada CRT aktual memiliki beberapa perbedaan penting dibandingkan solenoida ideal:

Bentuk sadel (saddle coil): Kumparan defleksi tidak berbentuk silinder lurus, melainkan melengkung mengikuti kontur kerucut leher tabung CRT. Hal ini menyebabkan distribusi medan tidak sepenuhnya seragam.
Dua pasang kumparan: CRT menggunakan dua pasang kumparan yang saling tegak lurus — satu pasang untuk defleksi horizontal dan satu pasang untuk defleksi vertikal. Kedua pasang ini biasanya digabungkan dalam satu unit yang disebut deflection yoke.
Faktor efektivitas: Karena perbedaan geometri dari solenoida ideal, medan magnetik aktual biasanya lebih kecil dari nilai yang diprediksi oleh Persamaan (1.24). Seorang perancang CRT menggunakan faktor koreksi geometri $k_g$ (bernilai < 1) sehingga $B_{\text{aktual}} = k_g \cdot \mu_0 n I$.
Sinyal arus waktu-varian: Arus pada kumparan defleksi bukan arus DC tetapi sinyal sawtooth yang bervariasi secara linier terhadap waktu untuk menghasilkan pemindaian (scanning) yang seragam pada layar.

Meskipun demikian, Persamaan (1.24) tetap memberikan dasar teoritis yang kuat untuk memahami hubungan kuantitatif antara parameter kumparan dan medan magnetik yang dihasilkan, serta digunakan sebagai titik awal dalam setiap desain deflection yoke.

◆ Contoh Soal Kerja — Dari Arus Kumparan hingga Sudut Defleksi

Soal: Sebuah kumparan defleksi horizontal pada CRT televisi memiliki spesifikasi: jumlah lilitan $N = 200$, panjang efektif kumparan $l = 5$ cm, dan dialiri arus puncak $I = 0{,}5$ A. Tegangan anoda CRT adalah $V_a = 15$ kV dan panjang daerah medan magnetik efektif $l_m = 5$ cm. Tentukan: (a) besar medan magnetik yang dihasilkan, (b) jari-jari kelengkungan lintasan elektron, dan (c) sudut defleksi yang dihasilkan.

Langkah 1 — Hitung medan magnetik $B$ dari kumparan.
Gunakan Persamaan (1.24) dengan $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ T·m/A:

$$B = \frac{\mu_0 \, N \, I}{l} = \frac{(4\pi \times 10^{-7})(200)(0{,}5)}{0{,}05}$$ $$B = \frac{1{,}2566 \times 10^{-4}}{0{,}05} = 2{,}513 \times 10^{-3} \text{ T} = 2{,}51 \text{ mT}$$

(Persamaan 1.25)

Langkah 2 — Hitung kecepatan elektron dari tegangan anoda.
Gunakan Persamaan (1.4):

$$v = \sqrt{\frac{2eV_a}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \times 1{,}602 \times 10^{-19} \times 15\,000}{9{,}109 \times 10^{-31}}} = 7{,}27 \times 10^7 \text{ m/s}$$

(Persamaan 1.26)

Langkah 3 — Hitung jari-jari kelengkungan $R$.
Substitusikan $B$ dan $v$ ke dalam Persamaan (1.19):

$$R = \frac{m_e \, v}{e \, B} = \frac{(9{,}109 \times 10^{-31})(7{,}27 \times 10^7)}{(1{,}602 \times 10^{-19})(2{,}513 \times 10^{-3})}$$ $$R = \frac{6{,}622 \times 10^{-23}}{4{,}026 \times 10^{-22}} = 0{,}1645 \text{ m} = 16{,}45 \text{ cm}$$

(Persamaan 1.27)

Langkah 4 — Hitung sudut defleksi $\theta$.
Gunakan Persamaan (1.20) dengan $l_m = 5$ cm:

$$\theta = \arcsin\!\left(\frac{l_m}{R}\right) = \arcsin\!\left(\frac{0{,}05}{0{,}1645}\right) = \arcsin(0{,}3040) \approx 17{,}7^\circ$$

(Persamaan 1.28)

Hasil: Medan magnetik $B = 2{,}51$ mT • Jari-jari $R = 16{,}45$ cm • Sudut defleksi $\theta \approx 17{,}7^\circ$

Sudut defleksi sebesar 17,7° dari satu pasang kumparan menunjukkan bahwa dengan arus puncak 0,5 A, kumparan ini sudah menghasilkan defleksi yang signifikan. Pada CRT TV aktual, sudut defleksi total horizontal dan vertikal dibuat mencapai 90°–110° dengan meningkatkan lilitan-ampere ($NI$) atau mengoptimalkan geometri kumparan. Perhatikan bahwa medan magnetik 2,51 mT ini sekitar 5 kali lebih besar dari medan 0,5 mT pada contoh di Sub-bagian 1.4.2, yang menjelaskan mengapa sudut defleksi juga jauh lebih besar (17,7° vs 2,08°).

◇ Catatan — Hubungan Linier $B$ terhadap $I$

Persamaan (1.24) menunjukkan bahwa $B \propto I$ untuk kumparan tertentu (dengan $N$ dan $l$ tetap). Karena sudut defleksi kecil memenuhi $\theta \approx \sin\theta = l/R = eBl/(m_e v)$, maka $\theta \propto B \propto I$. Artinya, sudut defleksi sebanding lurus dengan arus kumparan — sifat linier ini sangat penting karena memungkinkan penggunaan sinyal sawtooth linier untuk menghasilkan pemindaian yang seragam pada layar tanpa distorsi geometris.

1.4.3 Perbandingan Defleksi Elektrostatik dan Magnetik

Tabel berikut merangkum perbandingan antara kedua metode defleksi:

Aspek	Defleksi Elektrostatik	Defleksi Magnetik
Mekanisme gaya	Gaya Coulomb ($\vec{F} = e\vec{E}$)	Gaya Lorentz ($\vec{F} = e(\vec{v}\times\vec{B})$)
Perubahan kecepatan	Mengubah besarnya kecepatan	Hanya mengubah arah kecepatan
Sudut defleksi	Terbatas (< 30°)	Besar (hingga 110°)
Pembangkitan medan	Plat sejajar dengan tegangan $V_d$	Kumparan ($B = \mu_0 NI/l$) dengan arus $I$
Aplikasi	Osiloskop, instrumen pengukuran	CRT TV, monitor, radar

1.5 Fosfor dan Pembentukan Citra

1.5.1 Material Fosfor

Fosfor adalah material yang mampu mengkonversi energi kinetik elektron (atau energi foton UV) menjadi cahaya tampak melalui proses yang disebut katodoluminesensi (cathodoluminescence). Material fosfor biasanya terdiri dari kristal host (matriks) yang didoping dengan aktivator logam transisi atau logam tanah jarang. Ketika elektron berenergi tinggi menumbuk kristal fosfor, elektron-elektron dalam material tersebut tereksitasi ke tingkat energi yang lebih tinggi. Ketika elektron-elektron ini kembali ke keadaan dasar, energi yang dilepaskan dipancarkan sebagai foton cahaya.

Jenis fosfor yang paling umum digunakan dalam CRT berwarna adalah:

Fosfor Merah: Y₂O₃ : Eu³⁺ (Yttrium oksida teraktivasi Europium), memancarkan cahaya merah dengan puncak panjang gelombang sekitar 611 nm.
Fosfor Hijau: ZnS : Cu,Al (Seng sulfida teraktivasi Tembaga dan Aluminium), memancarkan cahaya hijau dengan puncak panjang gelombang sekitar 530 nm.
Fosfor Biru: ZnS : Ag (Seng sulfida teraktivasi Perak), memancarkan cahaya biru dengan puncak panjang gelombang sekitar 450 nm.

1.5.2 Persistensi dan Laju Penyegaran

Persistensi fosfor (phosphor persistence) adalah waktu yang dibutuhkan kecerahan fosfor untuk meredup dari intensitas awalnya ke suatu tingkat tertentu (biasanya 10% dari intensitas puncak) setelah eksitasi dihentikan.

◆ Definisi — Klasifikasi Persistensi Fosfor

Persistensi sangat pendek (< 1 μs): Digunakan untuk aplikasi frekuensi tinggi seperti osiloskop.
Persistensi pendek (1–10 μs): Digunakan untuk tampilan standar.
Persistensi menengah (10 μs–1 ms): Digunakan untuk monitor komputer.
Persistensi panjang (> 1 ms): Digunakan untuk radar dan tampilan khusus.

1.5.3 Laju Penyegaran (Refresh Rate)

Laju penyegaran (refresh rate) adalah jumlah kali seluruh gambar pada layar diperbarui per detik, diukur dalam satuan Hertz (Hz). Pada CRT, gambar harus disegarkan secara berkala karena fosfor hanya memancarkan cahaya sesaat setelah dikenai sinar elektron. Jika laju penyegaran terlalu rendah, pengamat akan melihat efek flicker (kedipan) yang mengganggu mata.

Untuk menghindari flicker, CRT biasanya beroperasi pada laju penyegaran minimal 60 Hz untuk tampilan non-interlaced (progressive scan) dan 50–60 Hz untuk tampilan interlaced. Standar yang lebih tinggi seperti 75 Hz, 85 Hz, atau 100 Hz memberikan kenyamanan visual yang lebih baik, terutama untuk penggunaan dalam jangka waktu lama. Fenomena flicker terkait dengan Critical Fusion Frequency (CFF), yaitu frekuensi minimum di mana kedipan cahaya tidak lagi dapat dibedakan oleh mata manusia sebagai kedipan terpisah, yang secara tipikal berada pada kisaran 50–90 Hz tergantung pada kecerahan dan kondisi pencahayaan lingkungan.

1.5.4 Pembentukan Citra Berwarna

Pada CRT berwarna, layar fosfor terdiri dari jutaan grup tiga titik fosfor (triad) atau strip fosfor yang masing-masing memancarkan cahaya merah, hijau, dan biru. CRT berwarna menggunakan tiga senjata elektron (electron gun) yang masing-masing diarahkan ke jenis fosfor yang sesuai. Sebuah shadow mask (layar bayangan) ditempatkan tepat di depan layar fosfor untuk memastikan setiap sinar elektron hanya mengenai fosfor dari warna yang sesuai. Dengan mengatur intensitas masing-masing sinar elektron, campuran warna RGB yang dihasilkan pada setiap piksel dapat menciptakan persepsi warna yang luas bagi pengamat.

Soal Latihan Bab 1

Soal 1.1

Sebuah katoda CRT terbuat dari barium oksida dengan fungsi kerja $\phi = 1{,}5$ eV dan dioperasikan pada suhu $T = 1100$ K. Hitunglah rapat arus emisi termionik menggunakan persamaan Richardson-Dushman. (Konstanta Richardson $A_G = 1{,}2 \times 10^6$ A/(m²·K²), $k_B = 8{,}617 \times 10^{-5}$ eV/K)

Soal 1.2

Jika tegangan anoda sebuah CRT dinaikkan dari 15 kV menjadi 30 kV, berapakah rasio kecepatan elektron setelah peningkatan tegangan tersebut?

Soal 1.3

Sebuah CRT osiloskop memiliki spesifikasi berikut: panjang plat defleksi $l = 1{,}5$ cm, jarak antar plat $d = 0{,}8$ cm, jarak ujung plat ke layar $D = 15$ cm, dan tegangan anoda $V_a = 1500$ V. Jika perpindahan pada layar yang diinginkan adalah 3 cm, berapakah tegangan defleksi $V_d$ yang diperlukan?

Soal 1.4

Sebuah CRT menggunakan defleksi elektrostatik. Tentukan sudut defleksi $\theta$ yang dihasilkan jika $V_d = 200$ V, $V_a = 5000$ V, $l = 3$ cm, dan $d = 1$ cm.

Soal 1.5

Pada sistem defleksi magnetik, elektron bergerak dengan kecepatan $v = 8 \times 10^7$ m/s memasuki medan magnetik $B = 0{,}3$ mT. Hitunglah jari-jari kelengkungan lintasan elektron dan tentukan sudut defleksi jika panjang daerah medan magnetik $l = 4$ cm.

Soal 1.6

Sebuah kumparan defleksi vertikal pada CRT memiliki 300 lilitan dengan panjang efektif 6 cm. Berapakah arus yang diperlukan untuk menghasilkan medan magnetik $B = 1{,}5$ mT di dalam kumparan?

Soal 1.7

Sebuah solenoida dengan kerapatan lilitan $n = 4000$ lilitan/m dialiri arus $I = 0{,}8$ A. Hitunglah besar medan magnetik di dalam solenoida. Jika medan ini digunakan untuk mendefleksikan elektron yang dipercepat oleh tegangan $V_a = 20$ kV pada daerah sepanjang $l_m = 4$ cm, berapakah sudut defleksi yang dihasilkan?

Soal 1.8

Sebuah layar CRT menggunakan fosfor dengan persistensi 50 μs. Jika sinar elektron hanya menumbuk suatu titik fosfor selama 0.1 μs setiap siklus penyegaran, hitunglah fraksi waktu fosfor tersebut memancarkan cahaya yang masih terlihat (di atas 10% intensitas puncak) setelah eksitasi berhenti. Berapakah laju penyegaran minimum yang diperlukan agar tidak terlihat adanya flicker?

Soal 1.9

Dua CRT memiliki tegangan anoda yang berbeda: CRT-A dengan $V_a = 10$ kV dan CRT-B dengan $V_a = 25$ kV. Kedua CRT memiliki sistem defleksi elektrostatik yang identik ($l$, $d$, $D$ sama). Jika CRT-A menghasilkan perpindahan layar 2 cm pada tegangan defleksi tertentu, berapakah perpindahan yang dihasilkan CRT-B pada tegangan defleksi yang sama? Jelaskan implikasi praktisnya.

Soal 1.10

Sebuah katoda CRT memiliki luas permukaan emisi $A = 5$ mm² dan beroperasi pada suhu $T = 950$ K. Jika fungsi kerja material katoda adalah $\phi = 2{,}0$ eV, hitunglah: (a) rapat arus emisi, dan (b) total arus emisi. Kemudian, jika suhu katoda dinaikkan menjadi 1050 K, berapakah peningkatan total arus emisi (dalam faktor pengali)?

Apendiks A: Penurunan Hukum Child-Langmuir pada CRT

Bagian ini menyediakan penurunan matematis formal dan asumsi fisis yang digunakan untuk membangun Persamaan 1.1 pada modulasi berkas elektron.

1. Asumsi-Asumsi Utama (Physical Assumptions)

Penurunan mengacu pada model dioda vakum planar ideal dengan asumsi berikut:

Geometri Planar Paralel: Katoda dan grid dianggap sebagai dua pelat datar paralel berukuran tak terhingga yang terpisah sejauh jarak $d$.
Aliran Terbatas Muatan Ruang (Space-Charge Limited Flow): Emisi elektron dari katoda sangat melimpah, membentuk awan elektron di sekitar katoda yang membatasi laju arus fisis.
Kecepatan Awal Nol: Elektron meninggalkan permukaan katoda dengan energi termal diabaikan ($v = 0$ pada $x = 0$).
Potensial Batas: Potensial pada permukaan katoda ditetapkan sebesar nol ($V = 0$ pada $x = 0$).
Kondisi Batas Medan: Akibat efek penumpukan muatan ruang, medan listrik tepat di permukaan katoda ditekan menjadi nol ($\frac{dV}{dx} = 0$ pada $x = 0$).
Sistem Non-Relativistik Satu Dimensi: Gerak elektron hanya ditinjau pada sumbu-$x$ dengan kecepatan jauh di bawah kecepatan cahaya.

2. Langkah-Langkah Penurunan (Mathematical Derivation)

Misalkan posisi katoda di $x = 0$ dengan $V(0) = 0$, dan grid pada jarak $x = d$ dengan potensial efektif $V_e$.

Langkah 1: Konservasi Energi

Energi kinetik elektron ditopang sepenuhnya oleh medan potensial listrik:

$$\frac{1}{2} m v^2 = e V(x) \implies v(x) = \sqrt{\frac{2e V(x)}{m}} \quad \text{--- (Pers. A)}$$

Langkah 2: Kontinuitas Kerapatan Arus

Kerapatan arus listrik ($J$) bernilai konstan di sepanjang ruang antar-elektroda pada kondisi tunak (steady-state):

$$J = \rho(x) \cdot v(x) \implies \rho(x) = \frac{J}{v(x)} = J \sqrt{\frac{m}{2e}} V(x)^{-1/2} \quad \text{--- (Pers. B)}$$

Langkah 3: Penerapan Persamaan Poisson

Distribusi spasial potensial diatur oleh Persamaan Poisson satu dimensi (dengan muatan elektron negatif):

$$\frac{d^2V}{dx^2} = -\frac{\rho(x)}{\epsilon_0} \implies \frac{d^2V}{dx^2} = \frac{J}{\epsilon_0} \sqrt{\frac{m}{2e}} V^{-1/2} \quad \text{--- (Pers. C)}$$

Langkah 4: Integrasi Pertama

Kalikan kedua ruas Persamaan (C) dengan $2 \frac{dV}{dx}$ untuk mengintegrasikan terhadap $x$:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{dV}{dx} \right)^2 = 2 \frac{J}{\epsilon_0} \sqrt{\frac{m}{2e}} V^{-1/2} \frac{dV}{dx}$$

Dengan menerapkan syarat batas ($\frac{dV}{dx} = 0$ dan $V = 0$ pada $x = 0$):

$$\left( \frac{dV}{dx} \right)^2 = 4 \frac{J}{\epsilon_0} \sqrt{\frac{m}{2e}} V^{1/2} \implies \frac{dV}{dx} = \sqrt{\frac{4J}{\epsilon_0}} \left(\frac{m}{2e}\right)^{1/4} V^{1/4} \quad \text{--- (Pers. D)}$$

Langkah 5: Integrasi Kedua & Solusi Akhir

Pemisahan variabel $V$ dan $x$ dari Persamaan (D) menghasilkan:

$$\int_{0}^{V_e} V^{-1/4} dV = \sqrt{\frac{4J}{\epsilon_0}} \left(\frac{m}{2e}\right)^{1/4} \int_{0}^{d} dx$$ $$\frac{4}{3} V_e^{3/2} = \sqrt{\frac{4J}{\epsilon_0}} \left(\frac{m}{2e}\right)^{1/4} d$$

Kuadratkan kedua ruas untuk mengisolasi parameter kerapatan arus $J$:

$$J = \left( \frac{4\epsilon_0}{9d^2} \sqrt{\frac{2e}{m}} \right) V_e^{3/2}$$

3. Korelasi dengan Parameter Elektroda CRT

Pada senjata elektron CRT, potensial penggerak efektif ($V_e$) dikendalikan oleh selisih linear tegangan kerja terhadap batas padam arus:

$$V_e = V_{gk} - V_{\text{cutoff}}$$

Jika kerapatan arus $J$ dikalikan dengan luas emisi katoda ($A$), diperoleh total arus katoda ($I_k = J \cdot A$):

$$I_k = \underbrace{\left( \frac{4\epsilon_0 A}{9d^2} \sqrt{\frac{2e}{m}} \right)}_{K} \cdot (V_{gk} - V_{\text{cutoff}})^{3/2}$$

Dengan mengelompokkan suku-suku geometris ke dalam variabel konstanta tunggal $K$, persamaan berhasil diturunkan menjadi:

$I_k = K \cdot (V_{gk} - V_{\text{cutoff}})^{3/2}$

↑ Kembali ke Definisi Utama

Apendiks B: Penurunan Persamaan Richardson-Dushman

Bagian ini menyediakan penurunan fisika kuantum statistika formal dari emisi elektron termionik logam menuju ruang hampa.

1. Asumsi-Asumsi Utama (Physical Assumptions)

Penurunan ini didasarkan pada model elektron bebas Sommerfeld untuk logam konduktor:

Gas Elektron Bebas Fermi: Elektron-elektron konduksi di dalam logam berperilaku sebagai gas elektron non-interaktif yang mematuhi Hukum Statistika Fermi-Dirac.
Potensial Sumur Kotak: Interior logam dianggap sebagai sumur potensial konstan yang datar, dengan dinding potensial setinggi $E_B$ di permukaannya ($x = 0$).
Kondisi Emisi (Fungsi Kerja): Elektron hanya dapat lolos keluar dari permukaan logam jika energi kinetik pada sumbu komponen tegak lurus ($E_x$) melampaui penghalang potensial permukaan, yaitu $E_x \ge E_F + \phi = E_B$, di mana $E_F$ adalah Energi Fermi.
Aproksimasi Ekor Termal (High-Temperature Tail): Karena suhu emisi termionik tinggi dan penghalang potensial relatif besar dibandingkan energi termal ($(E - E_F) \gg k_B T$), maka distribusi Fermi-Dirac dapat diaproksimasi dengan distribusi klasik Maxwell-Boltzmann.
Efek Refleksi Diabaikan: Semua elektron yang memiliki energi mekanik cukup untuk melewati pembatas diasumsikan 100% berhasil lolos tanpa mengalami pemantulan kuantum kembali ke dalam logam.

2. Langkah-Langkah Penurunan (Mathematical Derivation)

Kerapatan jumlah keadaan elektron (density of states) per satuan volume dalam ruang momentum dinotasikan sebagai:

$$g(p) dp_x dp_y dp_z = \frac{2}{h^3} dp_x dp_y dp_z$$

di mana konstanta $2$ merepresentasikan degenerasi spin elektron, dan $h$ adalah konstanta Planck.

Langkah 1: Menghitung Fluks Elektron Melintasi Permukaan

Arus emisi searah sumbu-$x$ per satuan luas ditentukan oleh jumlah elektron yang bergerak dengan kecepatan $v_x = p_x/m$ yang menembus batas permukaan logam:

$$J = e \iiint v_x \cdot n(p) \, dp_x \, dp_y \, dp_z$$

Substitusikan fungsi distribusi statistik Fermi-Dirac $n(p) = \frac{2}{h^3} \frac{1}{\exp[(E - E_F)/k_B T] + 1}$:

$$J = \frac{2e}{h^3 m} \iiint p_x \frac{1}{\exp\left(\frac{E - E_F}{k_B T}\right) + 1} \, dp_x \, dp_y \, dp_z$$

Langkah 2: Menerapkan Aproksimasi Boltzmann

Sesuai asumsi nomor 4, karena nilai penyebut eksponensial sangat besar, konstanta $+1$ diabaikan. Hubungan energi kinetik total terhadap komponen momentum dipecah menjadi $E = \frac{p_x^2}{2m} + \frac{p_y^2}{2m} + \frac{p_z^2}{2m}$:

$$J = \frac{2e}{h^3 m} \exp\left(\frac{E_F}{k_B T}\right) \int_{p_{x,\text{min}}}^{\infty} p_x \exp\left(-\frac{p_x^2}{2m k_B T}\right) dp_x \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{p_y^2}{2m k_B T}\right) dp_y \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{p_z^2}{2m k_B T}\right) dp_z$$

Langkah 3: Integrasi Integral Gauss (Sumbu-y dan Sumbu-z)

Integral terhadap komponen momentum paralel $p_y$ dan $p_z$ berbentuk standar integral Gauss $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$. Dengan parameter $a = \frac{1}{2mk_BT}$, hasilnya:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{p_y^2}{2m k_B T}\right) dp_y = \sqrt{2\pi m k_B T}$$

Maka perkalian kedua integral arah paralel bernilai: $(\sqrt{2\pi m k_B T}) \times (\sqrt{2\pi m k_B T}) = 2\pi m k_B T$. Masukkan kembali ke persamaan $J$:

$$J = \frac{2e}{h^3 m} (2\pi m k_B T) \exp\left(\frac{E_F}{k_B T}\right) \int_{p_{x,\text{min}}}^{\infty} p_x \exp\left(-\frac{p_x^2}{2m k_B T}\right) dp_x$$

Langkah 4: Evaluasi Batas Momentum Kritis Sumbu-x

Batas bawah momentum kritis agar elektron terlepas adalah $E_{x,\text{min}} = \frac{p_{x,\text{min}}^2}{2m} = E_B$. Mari integrasikan bagian sumbu-$x$ menggunakan metode substitusi variabel:

$$\int_{p_{x,\text{min}}}^{\infty} p_x \exp\left(-\frac{p_x^2}{2m k_B T}\right) dp_x = \left[ -m k_B T \exp\left(-\frac{p_x^2}{2m k_B T}\right) \right]_{p_{x,\text{min}}}^{\infty} = m k_B T \exp\left(-\frac{E_B}{k_B T}\right)$$

Langkah 5: Substitusi Fungsi Kerja dan Solusi Akhir

Gabungkan hasil dari Langkah 3 dan Langkah 4 secara utuh:

$$J = \frac{4\pi e m k_B T}{h^3} \cdot (m k_B T) \cdot \exp\left(\frac{E_F - E_B}{k_B T}\right)$$ $$J = \left(\frac{4\pi m e k_B^2}{h^3}\right) T^2 \exp\left(-\frac{E_B - E_F}{k_B T}\right)$$

Berdasarkan definisi fisis, selisih tingkat energi sumur luar dengan tingkat Fermi konduktor disebut fungsi kerja ($\phi = E_B - E_F$):

$$J = \underbrace{\left(\frac{4\pi m e k_B^2}{h^3}\right)}_{A_0} T^2 \exp\left(-\frac{\phi}{k_B T}\right)$$

3. Konstanta Emisi Termionik Universal

Koefisien di dalam tanda kurung di atas melambangkan Konstanta Richardson Teoretis murni ($A_0$):

$$A_0 = \frac{4\pi m e k_B^2}{h^3} \approx 1{,}20173 \times 10^6 \text{ A}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-2}$$

Pada kondisi nyata, struktur pita energi elektron pada permukaan kristal logam memberikan faktor koreksi material (faktor refleksi kuantum $r$), sehingga nilai konstanta efektif ditulis sebagai $A_G = (1-r)A_0$. Bentuk akhir persamaan kembali selaras secara presisi dengan teorema awal:

$$J = A_G T^2 \exp\!\left(-\frac{\phi}{k_B T}\right)$$

↑ Kembali ke Teorema Utama

Apendiks C: Penurunan Medan Magnetik Solenoida dari Hukum Ampere

Bagian ini menyediakan penurunan formal Persamaan 1.24 menggunakan Hukum Ampere (Ampere's Circuital Law).

1. Asumsi-Asumsi Utama

Solenoida Panjang Ideal: Panjang solenoida $l$ jauh lebih besar daripada jari-jari penampangnya $r$ ( $l \gg r$ ), sehingga efek ujung (end effects) dapat diabaikan.
Lilitan Seragam: Lilitan kawat terdistribusi secara seragam sepanjang solenoida, menghasilkan kerapatan lilitan konstan $n = N/l$.
Medan Interior Seragam: Medan magnetik di dalam solenoida arahnya sejajar sumbu solenoida dan besarnya konstan.
Medan Eksterior Nol: Medan magnetik di luar solenoida jauh lebih kecil sehingga dapat diaproksimasi sebagai nol.
Vakum (Tanpa Inti Magnetik): Ruang di dalam dan di sekeliling solenoida merupakan ruang hampa, sehingga permeabilitas yang berlaku adalah $\mu_0$.
Regim Magnetostatik: Arus $I$ konstan (DC), sehingga medan magnetik bersifat statis dan Hukum Ampere dalam bentuk magnetostatik berlaku.

2. Langkah-Langkah Penurunan

Langkah 1: Pilih Kontur Integrasi (Amperean Loop)

Pertimbangkan kontur tertutup persegi panjang $abcd$ yang melintasi solenoida:

Sisi $ab$: Terletak di dalam solenoida, sejajar sumbu, sepanjang $L$.
Sisi $bc$: Terletak di luar solenoida, tegak lurus sumbu, sepanjang $d$.
Sisi $cd$: Terletak di luar solenoida, sejajar sumbu (berlawanan arah dengan $ab$), sepanjang $L$.
Sisi $da$: Terletak di luar solenoida, tegak lurus sumbu, sepanjang $d$.

Langkah 2: Nyatakan Hukum Ampere

Hukum Ampere dalam bentuk integral:

$$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = \mu_0 \, I_{\text{tertembus}}$$

Langkah 3: Evaluasi Integral Garis per Sisi

Sisi $ab$ (di dalam, sejajar sumbu): Medan $B$ sejajar dengan elemen panjang $d\ell$:

$$\int_a^b \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = B \, L$$

Sisi $bc$ dan $da$ (tegak lurus sumbu, di luar): Di luar solenoida, medan diasumsikan nol, sehingga kedua integral ini bernilai nol.

Sisi $cd$ (di luar, sejajar sumbu, arah berlawanan): Karena $B \approx 0$ di luar, integral ini juga bernilai nol.

Dengan demikian, integral garis total hanya menyisakan kontribusi sisi $ab$:

$$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{\ell} = B \, L + 0 + 0 + 0 = B \, L \quad \text{--- (Pers. C1)}$$

Langkah 4: Hitung Arus Tertembus oleh Kontur

Setiap lilitan kawat yang menembus permukaan yang dibatasi kontur $abcd$ membawa arus $I$. Jumlah lilitan yang tertembus oleh kontur sama dengan kerapatan lilitan dikali panjang sisi $ab$:

$$I_{\text{tertembus}} = n \, L \, I \quad \text{--- (Pers. C2)}$$

di mana $n = N/l$ adalah jumlah lilitan per satuan panjang.

Langkah 5: Samakan dan Selesaikan untuk $B$

Substitusikan Persamaan (C1) dan (C2) ke dalam Hukum Ampere:

$$B \, L = \mu_0 \, (n \, L \, I)$$

Panjang $L$ pada kedua ruas dapat dihilangkan (asalkan $L \neq 0$):

$$B = \mu_0 \, n \, I$$

Substitusikan kembali $n = N/l$ untuk mendapatkan bentuk akhir.

3. Hasil Akhir

$B = \mu_0 \, n \, I = \dfrac{\mu_0 \, N \, I}{l}$

4. Batasan Validitas

Persamaan ini akurat untuk solenoida ideal ($l \gg r$). Untuk solenoida yang tidak memenuhi syarat panjang ideal, medan di dalam tidak sepenuhnya seragam dan lebih besar di tengah dibandingkan di dekat ujung. Koreksi untuk solenoida berhingga dapat dihitung menggunakan rumus eksak berdasarkan Biot-Savart law, yang menghasilkan medan di titik tengah sumbu:

$$B_{\text{pusat}} = \frac{\mu_0 \, n \, I}{2}\left(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2\right)$$

di mana $\alpha_1$ dan $\alpha_2$ adalah sudut antara sumbu solenoida dan garis yang menghubungkan titik tengah ke masing-masing ujung solenoida. Untuk solenoida panjang, $\cos\alpha_1 \to 1$ dan $\cos\alpha_2 \to -1$, sehingga ekspresi ini kembali ke $B = \mu_0 n I$.

5. Hubungan dengan Hukum Biot-Savart

Sebagai alternatif, Persamaan (1.24) juga dapat diturunkan langsung dari Hukum Biot-Savart dengan mengintegralkan kontribusi medan dari setiap elemen lilitan kawat sepanjang solenoida. Penurunan melalui Biot-Savart lebih panjang secara matematis tetapi tidak memerlukan asumsi $l \gg r$, sehingga menghasilkan ekspresi yang lebih umum (termasuk koreksi ujung di atas). Hukum Ampere dipilih di sini karena memberikan penurunan yang lebih elegan dan langsung untuk kasus solenoida ideal.

↑ Kembali ke Definisi Medan Magnetik Solenoida