Beranda / Bab 4

Polarisasi Cahaya

Gelombang elektromagnetik, jenis-jenis polarisasi, vektor Jones, matriks Jones, parameter Stokes, hukum Malus, dan peran polarizer dalam LCD.

4.1 Gelombang Elektromagnetik dan Polarisasi

Cahaya adalah gelombang elektromagnetik transversal, yang berarti medan listrik $\vec{E}$ dan medan magnetik $\vec{B}$ berosilasi tegak lurus terhadap arah perambatan $\hat{k}$. Untuk gelombang planar yang merambat sepanjang sumbu $z$, medan listrik dapat dituliskan sebagai:

$$\vec{E}(z,t) = \text{Re}\left\{\begin{pmatrix} E_{0x} \\ E_{0y} \end{pmatrix} e^{i(kz - \omega t + \delta)}\right\}$$
(Persamaan 4.1)

di mana $E_{0x}$ dan $E_{0y}$ adalah amplitudo komponen medan listrik pada arah $x$ dan $y$, $k = 2\pi/\lambda$ adalah bilangan gelombang, $\omega = 2\pi f$ adalah frekuensi sudut, dan $\delta$ adalah perbedaan fasa antara kedua komponen.

Polarisasi menggambarkan orientasi dan perilaku medan listrik gelombang cahaya dalam bidang tegak lurus arah perambatan. Cahaya dari sumber konvensional (misalnya lampu pijar, matahari) bersifat unpolarized (tidak terpolarisasi), yang berarti arah medan listrik berubah secara acak dan sangat cepat. Cahaya yang memiliki orientasi medan listrik yang teratur dan terprediksi disebut terpolarisasi.

4.2 Jenis-Jenis Polarisasi

4.2.1 Polarisasi Linear

Pada polarisasi linear (juga disebut polarisasi planar), medan listrik berosilasi dalam satu bidang tetap. Ini terjadi ketika $\delta = 0$ atau $\delta = \pi$, yaitu kedua komponen sefasa atau berlawanan fasa tepat 180°. Arah osilasi membentuk sudut $\alpha$ terhadap sumbu $x$:

$$\tan\alpha = \frac{E_{0y}}{E_{0x}}$$
(Persamaan 4.2)

Polarisasi linear adalah jenis polarisasi yang paling sederhana dan paling relevan dalam operasi LCD dasar.

4.2.2 Polarisasi Sirkular

Polarisasi sirkular terjadi ketika $E_{0x} = E_{0y} = E_0$ dan $\delta = \pm\pi/2$. Ujung vektor medan listrik menggambarkan lingkaran ketika dilihat dari arah perambatan. Terdapat dua jenis:

  • Polarisasi sirkular kanan (RCP): $\delta = -\pi/2$ (mengikut konvensi fisika; vektor $\vec{E}$ berputar searah jarum jam jika dilihat dari arah sumber).
  • Polarisasi sirkular kiri (LCP): $\delta = +\pi/2$.

Polarisasi sirkular dapat dipandang sebagai superposisi dari dua polarisasi linear yang tegak lurus dengan amplitudo sama dan beda fasa $\pi/2$.

4.2.3 Polarisasi Eliptis

Polarisasi eliptis adalah kasus paling umum, di mana amplitudo komponen tidak sama ($E_{0x} \neq E_{0y}$) dan/atau beda fasa $\delta$ bernilai sembarang. Ujung vektor $\vec{E}$ menggambarkan elips. Semua jenis polarisasi (linear dan sirkular) merupakan kasus khusus dari polarisasi eliptis.

Persamaan elips polarisasi dalam bidang $xy$ (pada $z = 0$, $t = 0$) adalah:

$$\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)^2 + \left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)^2 - 2\frac{E_x E_y}{E_{0x} E_{0y}}\cos\delta = \sin^2\delta$$
(Persamaan 4.3)

Simulasi interaktif berikut memungkinkan Anda mengeksplorasi secara langsung bagaimana ketiga parameter — $E_{0x}$, $E_{0y}$, dan $\delta$ — menentukan jenis polarisasi. Panel atas menunjukkan gelombang yang merambat sepanjang sumbu $z$ dengan komponen $E_x$ dan $E_y$ serta vektor gabungan $\vec{E}$; panel bawah menunjukkan penampang lintasan polarisasi pada bidang $xy$ yang diamati sepanjang sumbu $z$. Geser penggeser untuk mengubah nilai, atau gunakan tombol preset untuk melompat ke keadaan khas:

Simulasi Interaktif: Ruang Keadaan Jenis Polarisasi Gelombang

Komponen $E_x(z,t)$
Komponen $E_y(z,t)$
Vektor $\vec{E}(z,t)$ / $\vec{E}(t)$
Jejak Lintasan / Heliks
Keadaan: Polarisasi Sirkular Kanan (RCP)

4.2.4 Vektor Jones dan Parameter Stokes

Untuk mendeskripsikan polarisasi secara matematis, terdapat dua formalisme utama:

◆ Definisi — Vektor Jones

Vektor Jones mendeskripsikan polarisasi cahaya sepenuhnya terpolarisasi (fully polarized) menggunakan vektor kompleks 2×1:

$$\vec{E}_J = \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E_{0x} \, e^{i\delta_x} \\ E_{0y} \, e^{i\delta_y} \end{pmatrix}$$
(Persamaan 4.4)

Komponen optik (seperti polarizer, pelat gelombang) direpresentasikan oleh matriks Jones 2×2. Polarizer linear dengan sumbu transmisi pada sudut $\theta$ memiliki matriks:

$$\mathbf{J}_{\text{pol}}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos^2\theta & \sin\theta\cos\theta \\ \sin\theta\cos\theta & \sin^2\theta \end{pmatrix}$$
(Persamaan 4.5)
◆ Definisi — Parameter Stokes

Parameter Stokes mendeskripsikan polarisasi termasuk cahaya sebagian terpolarisasi (partially polarized) menggunakan empat bilangan real:

$$S_0 = E_{0x}^2 + E_{0y}^2, \qquad S_1 = E_{0x}^2 - E_{0y}^2, \qquad S_2 = 2E_{0x}E_{0y}\cos\delta, \qquad S_3 = 2E_{0x}E_{0y}\sin\delta$$
(Persamaan 4.6)

Degree of Polarization (DoP) didefinisikan sebagai:

$$\text{DoP} = \frac{\sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}}{S_0}$$
(Persamaan 4.7)

Untuk cahaya sepenuhnya terpolarisasi, DoP = 1; untuk cahaya tidak terpolarisasi, DoP = 0.

◆ Contoh Soal — Menentukan Vektor Jones

Soal: Tuliskan vektor Jones untuk: (a) polarisasi linear horizontal, (b) polarisasi linear vertikal, (c) polarisasi linear pada sudut 45°, (d) polarisasi sirkular kanan dengan amplitudo $E_0 = 3$.

Penyelesaian:

$$\text{(a)}\;\begin{pmatrix} E_0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \text{(b)}\;\begin{pmatrix} 0 \\ E_0 \end{pmatrix} \qquad \text{(c)}\;\frac{E_0}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \text{(d)}\;\begin{pmatrix} 3 \\ -3i \end{pmatrix}$$
(Persamaan 4.8)

Vektor Jones sepenuhnya menentukan keadaan polarisasi melalui amplitudo relatif pada kedua sumbu dan beda fasa antara komponennya. Untuk kasus (d), komponen $y$ memiliki fasa $-\pi/2$ relatif terhadap $x$, sehingga menghasilkan polarisasi sirkular kanan.

◆ Contoh Soal — Menghitung Parameter Stokes dan DoP

Soal: Cahaya terpolarisasi memiliki $E_{0x} = 5$, $E_{0y} = 3$, dan $\delta = 60^\circ$. Hitung parameter Stokes dan derajat polarisasinya.

Penyelesaian:

Intensitas total (proporsional):

$$S_0 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$$
(Persamaan 4.9)

Perbedaan intensitas komponen:

$$S_1 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$$
(Persamaan 4.10)

Korelasi fasa:

$$S_2 = 2 \times 5 \times 3 \times \cos 60^\circ = 30 \times 0{,}5 = 15, \qquad S_3 = 2 \times 5 \times 3 \times \sin 60^\circ = 30 \times 0{,}866 = 25{,}98$$
(Persamaan 4.11)

Derajat polarisasi:

$$\text{DoP} = \frac{\sqrt{16^2 + 15^2 + 25{,}98^2}}{34} = \frac{\sqrt{256 + 225 + 674{,}96}}{34} = \frac{\sqrt{1155{,}96}}{34} = \frac{33{,}996}{34} \approx 1{,}000$$
(Persamaan 4.12)

Jadi, parameter Stokes $(S_0, S_1, S_2, S_3) = (34;\; 16;\; 15;\; 26{,}0)$ dengan DoP = 1,000. Cahaya ini sepenuhnya terpolarisasi dan bersifat eliptis (karena $S_3 \neq 0$ dan $E_{0x} \neq E_{0y}$).

4.2.5 Kalkulus Jones — Matriks Jones

Vektor Jones yang dibahas pada Subbab 4.2.4 mendeskripsikan keadaan polarisasi cahaya. Untuk menghitung perubahan polarisasi ketika cahaya melewati satu atau lebih elemen optik, kita menggunakan matriks Jones — sebuah matriks kompleks berukuran 2×2 yang merepresentasikan efek setiap elemen terhadap komponen medan listrik.

◆ Prinsip Dasar Kalkulus Jones

Jika cahaya terpolarisasi dengan vektor Jones $\vec{E}_{\text{in}}$ melewati elemen optik yang memiliki matriks Jones $\mathbf{J}$, maka vektor Jones keluaran dihitung melalui perkalian matriks-vektor:

$$\vec{E}_{\text{out}} = \mathbf{J} \cdot \vec{E}_{\text{in}}$$
(Persamaan 4.13)

Jika cahaya melewati $N$ elemen optik secara berurutan — misalnya cahaya masuk ke elemen pertama $\mathbf{J}_1$, lalu $\mathbf{J}_2$, hingga $\mathbf{J}_N$ — maka matriks Jones total adalah hasil perkalian matriks dalam urutan terbalik:

$$\mathbf{J}_{\text{total}} = \mathbf{J}_N \cdot \mathbf{J}_{N-1} \cdots \mathbf{J}_2 \cdot \mathbf{J}_1$$
(Persamaan 4.14)

Urutan terbalik ini sangat penting karena perkalian matriks tidak komutatif: $\mathbf{J}_A \cdot \mathbf{J}_B \neq \mathbf{J}_B \cdot \mathbf{J}_A$ secara umum. Elemen terakhir yang dilewati cahaya menjadi matriks paling kiri dalam perkalian.

Intensitas cahaya keluaran dihitung dari norma kuadrat vektor Jones keluaran:

$$I_{\text{out}} = \left|\vec{E}_{\text{out}}\right|^2 = \left|E_x\right|^2 + \left|E_y\right|^2$$
(Persamaan 4.15)
ⓘ Catatan — Batasan Kalkulus Jones

Kalkulus Jones hanya berlaku untuk cahaya yang sepenuhnya terpolarisasi dan koheren. Untuk cahaya yang tidak terpolarisasi atau sebagian terpolarisasi, digunakan formalisme Mueller yang bekerja dengan parameter Stokes (lihat Persamaan 4.6–4.7). Dalam konteks LCD, cahaya setelah melewati polarizer pertama sudah sepenuhnya terpolarisasi, sehingga kalkulus Jones sangat relevan untuk menganalisis sisa rangkaian optik.

Matriks Jones untuk Elemen Optik Umum

Tabel berikut menyajikan matriks Jones untuk elemen-elemen optik yang paling sering ditemui dalam analisis polarisasi dan tampilan panel datar. Dalam tabel, $\Gamma$ menyatakan retardasi (perbedaan fasa yang diperkenalkan) dan $\theta$ menyatakan sudut orientasi elemen terhadap sumbu horizontal.

Elemen Optik Matriks Jones $\mathbf{J}$
Polarizer linear, sudut $\theta$$\begin{pmatrix} \cos^2\theta & \sin\theta\cos\theta \\ \sin\theta\cos\theta & \sin^2\theta \end{pmatrix}$
Polarizer horizontal ($\theta=0°$)$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
Polarizer vertikal ($\theta=90°$)$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Polarizer 45°$\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
Retarder linier, sumbu cepat H, retardasi $\Gamma$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\Gamma} \end{pmatrix}$
QWP, sumbu cepat horizontal$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$
QWP, sumbu cepat vertikal$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}$
QWP, sumbu cepat 45°$\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+i & 1-i \\ 1-i & 1+i \end{pmatrix}$
HWP, sumbu cepat horizontal$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
HWP, sumbu cepat 45°$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
Rotator optik, sudut $\alpha$$\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$
Polarizer sirkular kanan (RCP)$\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix}$
Polarizer sirkular kiri (LCP)$\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}$

Catatan: QWP = quarter-wave plate, HWP = half-wave plate. Konvensi fase mengikuti Subbab 4.2.2: RCP memiliki vektor Jones $(1,\,-i)^T/\sqrt{2}$. Matriks retarder pada sudut sembarang $\theta$ akan diturunkan pada Bab 5.

Turunan Matriks Rotasi 2D

Dalam kalkulus Jones, matriks rotasi $\mathbf{R}(\theta)$ memainkan peran sentral: ia menghubungkan komponen medan listrik dalam dua sistem koordinat yang berbeda. Kebutuhan ini muncul karena matriks Jones untuk setiap elemen optik paling sederhana ketika dinyatakan dalam sumbu-sumbu utamanya sendiri.

Visualisasi Interaktif: Matriks Rotasi dalam Kalkulus Jones

Sistem koordinat laboratorium (x, y)
Sistem koordinat rotasi (x′, y′)
Vektor polarisasi E
1 Motivasi: Mengapa Rotasi Diperlukan?

Bayangkan sebuah polarizer dengan sumbu transmisi horizontal. Matriks Jones-nya sederhana: $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ — hanya mentransmisikan komponen $E_x$. Namun, jika polarizer tersebut diputar sejauh sudut $\theta$, bagaimana kita menghitung efeknya terhadap vektor Jones yang dinyatakan dalam sistem koordinat laboratorium $(x, y)$?

Jawabannya adalah tiga langkah: (1) rotasi vektor masukan ke kerangka elemen, (2) menerapkan matriks Jones pada sumbu utama, (3) rotasi kembali ke kerangka laboratorium. Ketiga langkah ini memerlukan matriks rotasi 2D yang akan diturunkan berikut.

2 Penurunan Geometris

Pertimbangkan vektor $\vec{E}$ dalam sistem koordinat laboratorium $(x, y)$ dan sistem koordinat yang dirotasi $(x', y')$, di mana sumbu $x'$ membentuk sudut $\theta$ terhadap sumbu $x$ (rotasi berlawanan jarum jam). Vektor satuan sepanjang kedua sumbu baru adalah:

$$\hat{x}' = \begin{pmatrix}\cos\theta \\ \sin\theta\end{pmatrix}, \qquad \hat{y}' = \begin{pmatrix}-\sin\theta \\ \cos\theta\end{pmatrix}$$

Komponen vektor $\vec{E}$ pada sumbu $x'$ diperoleh dengan memproyeksikan $\vec{E}$ ke arah $\hat{x}'$:

$$E_{x'} = \vec{E} \cdot \hat{x}' = E_x \cos\theta + E_y \sin\theta$$

Komponen pada sumbu $y'$ diperoleh dengan memproyeksikan ke arah $\hat{y}'$:

$$E_{y'} = \vec{E} \cdot \hat{y}' = -E_x \sin\theta + E_y \cos\theta$$

Dalam bentuk matriks, kedua persamaan digabungkan menjadi:

$$\begin{pmatrix} E_{x'} \\ E_{y'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \end{pmatrix} = \mathbf{R}(-\theta) \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \end{pmatrix}$$

Ini adalah transformasi dari kerangka laboratorium ke kerangka rotasi — diperoleh dengan mensubstitusikan $-\theta$ ke dalam matriks rotasi standar. Matriks rotasi standar $\mathbf{R}(\theta)$, yang mentransformasikan dari kerangka rotasi ke kerangka laboratorium, adalah kebalikannya:

$$\boxed{\;\mathbf{R}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\;}$$
(Persamaan 4.16)

Dengan demikian, hubungan lengkap antara kedua kerangka adalah $\vec{E} = \mathbf{R}(\theta)\,\vec{E}'$ dan $\vec{E}' = \mathbf{R}(-\theta)\,\vec{E}$.

3 Verifikasi Sifat-Sifat Matriks Rotasi

Matriks rotasi memiliki beberapa sifat penting yang dapat diverifikasi langsung dari Persamaan 4.16:

  • Invers = Transpos: $\mathbf{R}(\theta)^{-1} = \mathbf{R}(\theta)^T = \mathbf{R}(-\theta)$.
  • Identitas: $\mathbf{R}(\theta)\mathbf{R}(-\theta) = \mathbf{I}$.
  • Determinan = 1: $\det\mathbf{R}(\theta) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
  • Komposisi: $\mathbf{R}(\alpha)\mathbf{R}(\beta) = \mathbf{R}(\alpha + \beta)$.
4 Penerapan: Menurunkan Matriks Polarizer pada Sudut Sembarang

Sebagai contoh langsung penerapan matriks rotasi, kita turunkan matriks Jones polarizer pada sudut $\theta$ (Persamaan 4.5) dari polarizer horizontal yang sudah diketahui:

Langkah (a): Rotasi masukan ke kerangka polarizer: $\vec{E}' = \mathbf{R}(-\theta)\,\vec{E}_{\text{in}}$

Langkah (b): Terapkan polarizer horizontal: $\vec{E}'' = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\vec{E}'$

Langkah (c): Rotasi kembali: $\vec{E}_{\text{out}} = \mathbf{R}(\theta)\,\vec{E}''$

Menggabungkan ketiga langkah:

$$\mathbf{J}_{\text{pol}}(\theta) = \mathbf{R}(\theta)\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\mathbf{R}(-\theta) = \begin{pmatrix}\cos^2\theta & \sin\theta\cos\theta\\ \sin\theta\cos\theta & \sin^2\theta\end{pmatrix}$$

Hasil ini identik dengan Persamaan 4.5 — tetapi kini kita memahami dari mana matriks tersebut berasal.

ⓘ Interpretasi Fisik Matriks Jones

Setiap matriks Jones dapat dipahami melalui efeknya terhadap komponen medan listrik:

  • Polarizer memilih satu komponen dan menghilangkan yang lain — elemen diagonal bernilai nol menandakan komponen yang diblokir.
  • Retarder (pelat gelombang) memperkenalkan perbedaan fasa antara komponen tanpa mengubah amplitudo — elemen diagonal memiliki nilai mutlak 1.
  • Rotator memutar arah polarisasi linear tanpa mengubah bentuknya — strukturnya identik dengan matriks rotasi $\mathbf{R}(\theta)$.

4.2.6 Contoh Perubahan Polarisasi dengan Matriks Jones

Bagian ini menyajikan tiga contoh perhitungan dasar. Setiap contoh menggunakan Persamaan 4.13 dan matriks dari tabel pada Subbab 4.2.5.

◆ Contoh 1 — QWP Mengubah Polarisasi Linear Menjadi Sirkular
Linear 45° → QWP (sumbu cepat H) → LCP

Soal: Cahaya terpolarisasi linear pada sudut 45° melewati QWP dengan sumbu cepat horizontal. Tentukan keadaan polarisasi keluaran.

Penyelesaian:

$$\vec{E}_{\text{out}} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & i\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}$$
(Persamaan 4.19)

Hasil $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}$ adalah vektor Jones polarisasi sirkular kiri (LCP).

◆ Contoh 2 — QWP Mengubah Polarisasi Sirkular Kembali Menjadi Linear
LCP → QWP (sumbu cepat H) → Linear −45°

Soal: Cahaya LCP melewati QWP dengan sumbu cepat horizontal. Tentukan polarisasi keluaran.

Penyelesaian:

$$\vec{E}_{\text{out}} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & i\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$$
(Persamaan 4.20)

Hasilnya adalah polarisasi linear pada sudut −45°. Contoh 1 dan 2 bersama menunjukkan bahwa QWP bersifat reversibel.

◆ Contoh 3 — HWP Memutar Arah Polarisasi Linear
Linear 0° (H) → HWP (sumbu cepat 22,5°) → Linear 45°

Soal: Cahaya terpolarisasi linear horizontal melewati HWP dengan sumbu cepat pada sudut 22,5°. Tentukan polarisasi keluaran.

Penyelesaian:

$$\vec{E}_{\text{out}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$$
(Persamaan 4.22)

Hasilnya adalah polarisasi linear pada 45°. HWP dengan sumbu cepat di sudut $\theta$ memutar polarisasi linear sebesar $2\theta$.

4.3 Polarizer dan Hukum Malus

Polarizer adalah komponen optik yang mentransmisikan salah satu komponen polarisasi cahaya dan menyerap atau memantulkan komponen lainnya. Polarizer ideal mentransmisikan 100% cahaya yang polarisasinya sejajar dengan sumbu transmisi dan 0% untuk polarisasi tegak lurus.

◆ Rumus — Hukum Malus (Turunan dari Kalkulus Jones)

Hukum Malus dapat diturunkan langsung dari kalkulus Jones:

$$\boxed{\;I = I_0 \cos^2(\theta - \alpha)\;}$$
(Persamaan 4.26)

Jika kita mendefinisikan $\varphi = \theta - \alpha$ sebagai sudut antara arah polarisasi cahaya dan sumbu transmisi polarizer, maka diperoleh Hukum Malus: intensitas cahaya terpolarisasi linear yang melewati polarizer ideal berbanding lurus dengan kuadrat kosinus sudut antara arah polarisasi dan sumbu transmisi.

◆ Contoh Soal — Hukum Malus untuk Dua Polarizer Berurutan

Soal: Cahaya terpolarisasi linear dengan intensitas $I_0 = 200$ cd/m² melewati dua polarizer. Polarizer pertama memiliki sumbu transmisi sejajar dengan polarisasi cahaya. Polarizer kedua membentuk sudut $\theta = 30^\circ$ terhadap yang pertama. Berapakah intensitas keluaran?

Penyelesaian:

$$I_1 = I_0 \cos^2(0^\circ) = 200 \times 1 = 200 \text{ cd/m}^2$$
(Persamaan 4.27)
$$I_2 = I_1 \cos^2(30^\circ) = 200 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 200 \times \frac{3}{4} = 150 \text{ cd/m}^2$$
(Persamaan 4.28)

Jadi, intensitas keluaran adalah 150 cd/m² (75% dari intensitas awal).

Mengapa LCD menggunakan dua polarizer? Bayangkan dua polarizer bersilangan ($\theta = 90^\circ$): tidak ada cahaya yang lolos — layar tampak hitam. Sekarang masukkan materi di antaranya yang bisa memutar polarisasi cahaya (kristal cair). Jika rotasi = 0°, polarisasi tetap tegak lurus terhadap polarizer kedua → hitam. Jika rotasi = 90°, polarisasi menjadi sejajar → terang. Dengan mengatur besar rotasi antara 0° dan 90°, kita mendapatkan tingkat keabu-abuan — inilah prinsip dasar setiap piksel LCD.

◆ Contoh 4 — QWP di Antara Polarizer Bersilangan
Tak terpolarisasi → Pol 0° → QWP 45° → Pol 90° → $I = \frac{1}{4}I_0$

Soal: Cahaya tak terpolarisasi dengan intensitas $I_0$ melewati polarizer horizontal, lalu QWP dengan sumbu cepat 45°, lalu polarizer vertikal. Berapakah intensitas keluaran?

Penyelesaian:

$$\vec{E}_{\text{out}} = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1+i\\1-i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}0\\1-i\end{pmatrix}$$
(Persamaan 4.31)
$$I_{\text{out}} = \left|\frac{1-i}{2}\right|^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
(Persamaan 4.32)

Intensitas absolut: $I_{\text{out}} = \frac{1}{2} \times \frac{I_0}{2} = \frac{I_0}{4}$.

Hasil penting: Tanpa QWP, polarizer bersilangan memblokir seluruh cahaya. Namun kehadiran QWP di 45° menyebabkan 50% cahaya lolos.

◆ Contoh 5 — Simulasi Piksel LCD Sederhana (Polarizer–Rotator–Polarizer)
Tak terpolarisasi → Pol 0° → Rotator $\alpha$ → Pol 90° → $I \propto \sin^2\alpha$

Soal: Dalam konfigurasi polarizer bersilangan, sebuah rotator optik ditempatkan di antara kedua polarizer. Rotator memutar polarisasi linear sebesar sudut $\alpha$. Tentukan intensitas keluaran.

Penyelesaian:

$$\vec{E}_{\text{out}} = \begin{pmatrix}0&0\\\sin\alpha & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\sin\alpha\end{pmatrix}$$
(Persamaan 4.36)
$$\boxed{\;I_{\text{out}} = \sin^2\alpha\;}$$
(Persamaan 4.37)

Verifikasi dengan tiga kondisi operasi LCD:

  • $\alpha = 0°$ (tanpa tegangan): $I = 0$ → hitam.
  • $\alpha = 45°$ (tegangan sebagian): $I = \tfrac{1}{2}$ → abu-abu tengah.
  • $\alpha = 90°$ (tegangan penuh): $I = 1$ → putih penuh.

Konsistensi dengan Hukum Malus:

$$I = I_1\cos^2(90°-\alpha) = I_1\sin^2\alpha$$
(Persamaan 4.38)

Hasil ini identik dengan Persamaan 4.37.

◆ Contoh 6 — Rantai Tiga Elemen: Polarizer → HWP → Polarizer
Tak terpolarisasi → Pol 0° → HWP (22,5°) → Pol 45° → $I = \frac{1}{2}I_0$

Soal: Cahaya tak terpolarisasi melewati polarizer horizontal, lalu HWP dengan sumbu cepat 22,5°, lalu polarizer 45°. Hitunglah intensitas keluaran.

Penyelesaian:

$$\vec{E}_{\text{out}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$$
(Persamaan 4.39)

Intensitas absolut: $I_{\text{out}} = 1 \times \frac{I_0}{2} = \frac{I_0}{2}$.

ⓘ Ringkasan Peran Matriks Jones dalam Analisis LCD

Kalkulus Jones memberikan kerangka kerja sistematis untuk menganalisis tampilan LCD:

  • Mode TN: Kristal cair memutar polarisasi — dimodelkan sebagai rotator (Contoh 5).
  • Mode IPS: Kristal cair mengubah retardasi — dimodelkan sebagai retarder linier dengan $\theta$ dan $\Gamma$ yang bervariasi.
  • Mode VA: Transisi dari retarder vertikal ke retarder miring — memerlukan matriks Jones berlapis.
  • Film kompensasi: Rangkaian pelat gelombang yang dioptimalkan menggunakan kalkulus Jones.

4.4 Jenis Polarizer

Polarizer Dikroik

Polarizer dikroik bekerja berdasarkan absorpsi selektif: molekul-molekul anisotropik dalam film menyerap satu komponen polarisasi lebih kuat daripada yang lain. Polarizer jenis ini yang paling banyak digunakan dalam LCD modern, sering disebut polaroid (dari nama penemunya, Edwin Land).

Polarisasi oleh Pemantulan dan Sudut Brewster

Ketika cahaya tidak terpolarisasi dipantulkan dari permukaan dielektrik pada sudut tertentu, pantulan tersebut menjadi terpolarisasi sebagian. Pada sudut Brewster $\theta_B$, pantulan menjadi sepenuhnya terpolarisasi linear tegak lurus terhadap bidang insidensi:

$$\theta_B = \arctan\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$$
(Persamaan 4.40)
◆ Contoh Soal — Menghitung Sudut Brewster

Soal: Hitunglah sudut Brewster untuk: (a) antarmuka udara–kaca ($n_{\text{kaca}} = 1{,}52$), (b) antarmuka udara–air ($n_{\text{air}} = 1{,}33$).

Penyelesaian:

$$\theta_{B,\text{kaca}} = \arctan(1{,}52) \approx 56{,}7^\circ, \qquad \theta_{B,\text{air}} = \arctan(1{,}33) \approx 53{,}1^\circ$$
(Persamaan 4.41–4.42)

Jadi, sudut Brewster untuk udara–kaca sekitar 56,7° dan untuk udara–air sekitar 53,1°.

Polarisasi oleh Birfringensi

Material birfringen memisahkan berkas cahaya menjadi dua komponen dengan polarisasi tegak lurus yang merambat dengan kecepatan berbeda. Prinsip ini digunakan dalam polarizer prismatik (seperti prisma Wollaston atau prisma Glan-Thompson). Pembahasan lebih lanjut pada Bab 5.

4.5 Aplikasi Polarisasi dalam Tampilan

Peran Polarizer dalam LCD

Setiap panel LCD membutuhkan minimal dua lembar polarizer: satu di sisi depan dan satu di sisi belakang. Polarizer belakang mengubah cahaya tidak terpolarisasi dari backlight menjadi terpolarisasi linear. Kristal cair di antara kedua polarizer mengontrol rotasi polarisasi, sehingga menentukan seberapa banyak cahaya yang melewati polarizer depan.

Polarizer Bersilangan dan Rasio Peredaman

Kualitas polarizer dalam aplikasi LCD ditentukan oleh dua parameter kunci:

  • Transmitansi sumbu transmisi ($T_0$): Idealnya mendekati 100% (polarizer praktis: 40–45% untuk jenis absorptif).
  • Transmitansi sumbu peredaman ($T_{90}$): Idealnya 0% (polarizer praktis: < 0,01%).

Rasio peredaman (extinction ratio) didefinisikan sebagai:

$$\rho = \frac{T_0}{T_{90}}$$
(Persamaan 4.43)
◆ Contoh Soal — Rasio Peredaman dan Kecerahan Hitam

Soal: Sebuah polarizer LCD memiliki transmitansi sumbu transmisi $T_0 = 42\%$ dan transmitansi sumbu peredaman $T_{90} = 0{,}003\%$. Jika cahaya backlight memiliki intensitas 1000 cd/m², berapakah kecerahan hitam teoritis dari polarizer bersilangan?

Penyelesaian:

$$\rho = \frac{0{,}42}{0{,}00003} = 14\,000, \qquad I_{\text{hitam}} = 1000 \times 0{,}00003 = 0{,}03 \text{ cd/m}^2, \qquad \text{CR}_{\text{pol}} = \frac{420}{0{,}03} = 14\,000 : 1$$
(Persamaan 4.44–4.47)

Jadi, rasio peredaman polarizer adalah 14.000:1 dan kecerahan hitam teoritis adalah 0,03 cd/m².

Lembar Polarizer dalam Tampilan Modern

  • Lapisan anti-refleksi (AR): Mengurangi pantulan permukaan untuk meningkatkan keterbacaan.
  • Lapisan hard coat: Melindungi permukaan polarizer dari goresan.
  • Lapisan anti-glare (AG): Menedarkan pantulan dengan menambahkan tekstur permukaan.
  • Wide-view film: Kompensasi pergeseran warna pada sudut pandang besar.

Soal Latihan Bab 4

Soal 4.1

Tuliskan vektor Jones untuk: (a) polarisasi linear horizontal, (b) polarisasi linear pada sudut 45°, (c) polarisasi sirkular kanan, (d) polarisasi sirkular kiri.

Soal 4.2

Cahaya tidak terpolarisasi dengan intensitas $I_0$ melewati tiga polarizer yang sumbu transmisinya membentuk sudut $0^\circ$, $45^\circ$, dan $90^\circ$. Berapakah intensitas akhir? Bandingkan dengan jika polarizer tengah dihilangkan.

Soal 4.3

Hitunglah sudut Brewster untuk: (a) antarmuka udara–akrilik ($n_{\text{akrilik}} = 1{,}49$), (b) antarmuka air–kaca ($n_{\text{air}} = 1{,}33$; $n_{\text{kaca}} = 1{,}52$).

Soal 4.4

Sebuah polarizer LCD memiliki transmitansi sumbu transmisi $T_0 = 44\%$ dan transmitansi sumbu peredaman $T_{90} = 0{,}005\%$. Hitunglah rasio peredamannya. Jika cahaya backlight memiliki intensitas 800 cd/m², berapakah kecerahan hitam teoritis dari polarizer bersilangan dan rasio kontras yang disumbangkan polarizer?

Soal 4.5

Diketahui parameter Stokes suatu cahaya: $S_0 = 100$, $S_1 = 60$, $S_2 = 0$, $S_3 = 0$. Tentukan jenis polarisasi, derajat polarisasi, dan arah polarisasi linear-nya.

Soal 4.6

Cahaya terpolarisasi linear horizontal dengan vektor Jones $\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$ melewati QWP dengan sumbu cepat pada sudut 45°. Tentukan vektor Jones keluaran, jenis polarisasi baru, dan intensitas keluaran.

Soal 4.7

Dalam konfigurasi polarizer bersilangan (0° dan 90°), sebuah HWP dengan sumbu cepat pada sudut $\theta$ ditempatkan di antara keduanya. Gunakan formula umum retarder linier pada sudut sembarang (Persamaan 5.37 pada Bab 5) untuk menunjukkan bahwa intensitas keluaran adalah $I = I_1\sin^2(2\theta)$, di mana $I_1$ adalah intensitas setelah polarizer pertama. Pada sudut $\theta$ berapakah intensitas maksimum dan minimum tercapai?

Soal 4.8

Cahaya RCP dengan vektor Jones $\frac{E_0}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}$ melewati sebuah polarizer sirkular kanan. Gunakan matriks Jones polarizer sirkular kanan dari tabel pada Subbab 4.2.5 untuk menentukan vektor Jones keluaran dan buktikan bahwa seluruh cahaya ditransmisikan.